Q.1। यूसीएफ का पता लगाने के लिए यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें:
(i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255
सोल। ( i) 135 और 225
पूर्णांक दिए गए हैं 135 और 225 स्पष्ट रूप से 225> 135 यूक्लिड के डिवीजन लेम्मा को 135 और 225 पर लागू करना।
हमें मिला
225 = 135 × + 90 ……………… (i)
यहाँ शेष है इसलिए हम फिर से विभाजक 135 पर EDL लागू करते हैं और शेष 90
135 = 90 × 1 + 45 .................. (ii)
यहाँ, शेष है, इसलिए हम यूक्लिड के विभाजन लेम्मा को विभाजक 90 और शेष 45 पर लागू करते हैं
90 = 45 × 2 + 0 ………………… .. (iii)
समीकरण (iii) से, शेष = 0. इसलिए इस स्तर पर भाजक और पिछले चरण का शेष
यानी 45 एचसीएफ (135, 225) = 45 है
(ii) 196 और 38220
सकारात्मक पूर्णांक 196 और 38220 और 38220> 196 हैं, इसलिए EDL को लागू करना,
हमें मिला
38220 = 196 × 195 + 0 …………… (i)
इस स्तर पर अवशेष शून्य है। तो, इस चरण का विभाजक यानी 196 38220 और 196 का HCF है
एचसीएफ (196, 38220) = 196
(iii) 867 और 255
सकारात्मक पूर्णांक 867 और 255 और 867> 255 हैं, इसलिए यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिदम को लागू करना
हमें मिला
867 = 255 × 3 + 102 ………………। (मैं)
यहाँ, शेष। तो, हम फिर से यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म को डिवीजन 255 और शेष 102 पर लागू करते हैं।
Q.2 दिखाएँ कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 का है, जहाँ q कुछ पूर्णांक है।
सोल। किसी भी पूर्णांक के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म a = 6q + r द्वारा किसी भी धनात्मक पूर्णांक और b = 6.Then को होने देंक्ष≥ 0 और कहाँ 0 ≤ आर < 6 संभावित अवशेष 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, अर्थात 6q या 6q + 1 या 6q + 2 या 6q + 3 या 6q + 4 या 6q + 5 हो सकते हैं, जहाँ q भागफल है। यदि a = 6q या 6q + 2 या 6q + 4 है, तो a भी पूर्णांक है। इसके अलावा, एक पूर्णांक सम या विषम भी हो सकता है। इसके अलावा, कोई भी विषम पूर्णांक 6a + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 है, जहाँ q कुछ पूर्णांक है।
Q.3 616 सदस्यों की एक टुकड़ी परेड में 32 सदस्यों के एक सेना बैंड के पीछे मार्च करना है। दो समूहों को समान संख्या में कॉलम में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है जिनमें वे मार्च कर सकते हैं?
सोल। कॉलम की अधिकतम संख्या का पता लगाने के लिए, हमें 616 और 32 के एचसीएफ को ढूंढना होगा।
100 5
⇒ 616 = 32 × 19 + 8
⇒ ३२ = 8 × ४ + ०
इसलिए, वह 616 और 32 का एचसीएफ है। इसलिए, कॉलम की अधिकतम संख्या 8 है।
Q.4 यूक्लिड का विभाजन लेम्मा का उपयोग करके यह दर्शाने के लिए करें कि किसी भी पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए फॉर्म 3m या 3m +1 का है।
सोल। आज्ञा देना x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो यह 3q, 3q + 1 या 3q +2 के रूप का है। अब, हमें यह साबित करना होगा कि इनमें से प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m +1 के रूप में लिखा जा सकता है।
अभी,(3q)2=9q2=3(3q2)=3m, where m=3q2
(3q+1)2=9q2+6q+1
=3(3q2+2q)+1
= 3m + 1, where m=3q2+2q
and, (3q+2q)2=9q2+12q+4
=3(3q2+4q+1)+1
= 3m + 1, where m=3q2+4q+1
इसलिए, परिणाम।
Q.5 यूक्लिड के विभाजन लेम्मा का उपयोग करें यह दिखाने के लिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन या तो रूप 9q, 9q + 1 या 9q + 8.
Sol है। बता दें कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो यह फॉर्म 3m, 3m + 1 या 3m +2 का है। अब, हम साबित किया है कि इनमें से प्रत्येक के घन रूप 9q + 1 या 9q + 8 में लिखा जा सकता है
अब (3m)3=27m3=9(3m3)
= 9q, where q=3m3
(3m+1)3=(3m)3+3(3m)2.1+3(3m).12+1
=27m3+27m2+9m+1
=9(3m3+3m2+m)+1
= 9q + 1, where q=3m3+3m2+m
and (3m+2)3=(3m)3+3(3m)2.2+3(3m).22+8
=27m3+54m2+36m+8
=9(3m3+6m2+4m)+8
= 9q + 8, where q=3m3+6m2+4m
Q.1 प्रत्येक संख्या को उसके प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें:
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (vi) 7429
सोल। (i)हम नीचे दिखाए अनुसार विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
2 140
2 70
5 35
7 7
1
इसलिए, 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = २2× 5 × 7
Q.2 पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों का LCM और HCF ज्ञात कीजिए और दो संख्याओं के उस LCM × HCF = उत्पाद को सत्यापित कीजिए।
(i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54
सोल। (i) 26 और 91
1 1 12
26 = 2 × 13 और 91 = 7 × 13
इसलिए, 26 के LCM और 91 = 2 × 7 × 13 = 182
और 26 और 91 के HCF = 13 अब, 182 × 13 = 2366 और 26 × 91 = 2366 के बाद से, 182 × 13 = 26 × 91 इसलिए सत्यापित।
(ii) 510 और 92
13 14
510 = 2 × 3 × 5 × 17 और 92 = 2 × 2 × 23
इसलिए, 510 का LCM और 92 = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
और 510 का HCF और 92 = 2
अब, 23460 × 2 = 46920 और 510 × 92 = 46920 चूंकि 23460 × 2 = 510 × 92 इसलिए सत्यापित है।
(iii) 336 और 54
15 16
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
और 54 = 2 × 3 × 3 × 3
इसलिए, 336 और 54 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024
और HCF का LCM 336 और 54 = 2 × 3 = 6
अब, 3024 × 6 = 18144
और 336 × 54 = 18144
चूंकि, 3024 × 6 = 336 × 54
इसलिए सत्यापित।
Q.3 प्राइम फैक्टर विधि
(i) 12,15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25
सोल
को लागू करके निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए । (i) पहले हम दिए गए संख्याओं में से प्रत्येक का मुख्य गुणनखंड लिखते हैं। 12 = 2 × 2 × 3 =22× 3, 15 = 3 × 5 और 21 = 3 × 7 इसलिए, एलसीएम =
22× 3 × 5 × 7 = 420
और, एचसीएफ = 3
(ii) पहले हम दिए गए अंकों में से प्रत्येक का मुख्य गुणनखंड लिखते हैं।
17 = 17, 23 = 23 और 29 = 29
इसलिए, LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
और HCF = 1
(iii) पहले हम दिए गए संख्याओं में से प्रत्येक का प्रधान गुणनखंड लिखते हैं ।
8 = 2 × 2 × 2= २3, ९ = ३× ३ = ३2, 25 = 5 × 5 =52
इसलिए, एलसीएम = २3× ३2× ५2= 8 × 9 × 25 = 1800
और एचसीएफ = 1
Q.4 यह देखते हुए कि HCF (306, 657) = 9, LCM (306, 657) खोजें।
सोल। हम जानते हैं कि HCF और LCM दो संख्याओं का गुणनफल दिए गए संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।
इसके बाद, एचसीएफ (306,657) × एलसीएम (306,657) = 306 × 657
⇒ 9 × एलसीएम (306 × 657) = 306 × 657
⇒ एलसीएम (306,657) = 306 × 6579 = 22338
प्रश्न 5.। हवामान जाँच लो6nकिसी भी परिधीय संख्या n के लिए अंक 0 के साथ समाप्त हो सकता है।
सोल। यदि संख्या6n, किसी भी n के लिए अंक शून्य के साथ समाप्त होता है, तो यह 5 से विभाज्य है 6n जिसमें 5 अभाज्य हैं। अर्थात, कारक के एकमात्र अभाज्य के रूप में संभव नहीं है 6n 2 और 3 है और अरिहमितिक की मौलिक प्रमेय की विशिष्टता इस बात की गारंटी देती है कि कारक के गुणनखंड में कोई अन्य अपराध नहीं हैं 6n। तो, वहाँ कोई नहीं हैn ∈ एन जिसके लिए 6n अंक शून्य के साथ समाप्त होता है।
Q.6 स्पष्ट करें कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 मिश्रित संख्याएँ हैं।
सोल। चूंकि, 7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 × 1 + 1)
= 13 × (77 + 1) -
13 × 78
⇒यह एक संयुक्त संख्या है।
फिर से, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 1 × 1 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 1 × 1 + 1)
⇒ यह एक संयुक्त संख्या है।
Q.7 खेल मैदान के चारों ओर एक गोलाकार रास्ता है। सोनिया को रास्ते का एक चक्कर लगाने में 18 मिनट लगते हैं, जबकि रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए कि वे दोनों एक ही बिंदु पर और एक ही समय पर शुरू करते हैं, और एक ही दिशा में चलते हैं। कितने मिनट के
बाद वे फिर से शुरुआती बिंदु पर होंगे? सोल। 18 और 12 के एलसीएम को खोजने के लिए, हमारे पास है
17 18
18 = 2 × 3 × 3 और 12 = 2 × 2 × 3
एलसीएम 18 और 12 = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
तो, सोनिया और रवि 36 मिनट के बाद शुरुआती बिंदु पर फिर से मिलेंगे।
Q.3 साबित करें कि निम्नलिखित तर्कहीन हैं:
(i)12√ (Ii) 5 ५-√ (Iii) ६ + २-√
सोल। (i) इसके विपरीत, मान लेते हैं, कि12√तर्कसंगत है। टी हैट है, हम सह-प्रधान पूर्णांक p और पा सकते हैंक्ष( ≠ 0 ) ऐसा है कि
12√= पीक्ष⇒ 1 × 2√2√× २√= पीक्ष⇒ २√2= पीक्ष
⇒ २-√= 2 पीक्ष
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, 2 पीक्ष तर्कसंगत है, और ऐसा ही है 2-√तर्कसंगत है।
लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि2-√तर्कहीन है। ओ, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं12√तर्कहीन है।
(ii) इसके विपरीत, मान लेते हैं, कि 5 ५-√तर्कसंगत है।
यही है, हम सह-प्रधान पूर्णांक p और पा सकते हैंक्ष( ≠ 0 ) ऐसा है कि 5 ५-√= पीक्ष
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, पी7 क्यू तर्कसंगत है और ऐसा ही है 5-√
लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि 5-√तर्कहीन है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं5 ५-√ तर्कहीन है।
(iii) इसके विपरीत, मान लेते हैं2-√तर्कसंगत है। यही है, हम पूर्णांक पी और पा सकते हैंक्ष( ≠ 0 ) ऐसा है कि
६ + २-√= पीक्ष⇒ 6 - पीक्ष= २-√
⇒ २-√= 6 - पीक्ष
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, हम प्राप्त करते हैं 6 - पीक्ष तर्कसंगत है, और ऐसा ही है 2-√तर्कसंगत है।
लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि2-√तर्कहीन है।
तो, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 +2-√ तर्कहीन है
Q.2 ऊपर दिए गए प्रश्न 1 में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार को लिखिए जिनमें दशमलव विस्तार समाप्त है।
सोल। (मैं) 133125= 135 × 5 × 5 × 5 × 5
= 13 × 2 × 2 × 2 × 2 × 25 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2
= 13 × 3210 × 10 × 10 × 10 × 10= 416100000 = 0.00416
(Ii) 178= 17 × 5323× ५3= 17 × 53103= 17 × 125103
= 21251000= 2.125
(iii) गैर - समाप्त करना।
(Iv) 151600= 1526× ५2= 1524× २2× ५2
= 1524× १०2= 15 × 5424× ५4× १०2
= 15 × 625104× १०2= 93751000000= 0.009375
(v) गैर - समाप्त करना।
(Vi) 2323.52= 232.22.52= 232.102= 23 × 52 × 5 × 102
= ११५10 × 102= ११५1000= 0.115
(vii) नॉन-टर्मिनेटिंग।
(ज) 615= २5= 410= 0.4
(झ) 3550= 35 × 2५० × २= 70100= 0.70
(x) गैर - समाप्त करना।
Q.3 निम्नलिखित वास्तविक संख्याओं में दशमलव विस्तार है जैसा कि नीचे दिया गया है। प्रत्येक मामले में, यह तय करें कि वे तर्कसंगत हैं या नहीं। यदि वे तर्कसंगत हैं, और फार्म केपीक्ष, आप q के प्रमुख कारकों के बारे में क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000 ....... (iii)43. 123456789¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
सोल। (i) 43.123456789 समाप्त हो रहा है।
तो, यह एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
इस प्रकार, 43.123456789 =पीक्ष, कहाँ पे क्ष= 109।
(ii) 0.12012001200012000 ... गैर-समाप्ति और गैर-दोहराव है। तो, यह तर्कहीन है।
(Iii) 43. 123456789¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯गैर - समाप्त है, लेकिन दोहरा रहा है। तो, यह तर्कसंगत है।
इस प्रकार,43. 123456789¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ = पीक्ष, जहां q = 999999999।
Q.1 निम्नलिखित द्विघात बहुपद के शून्य ज्ञात कीजिए और शून्य और गुणांक के बीच संबंध को सत्यापित कीजिए:
(i)एक्स2- 2 एक्स - 8
(Ii) 4 एस2- 4 s + 1
(Iii) 6 एक्स2- 3 - 7 एक्स
(Iv) 4 यू2+ 8 यू
(V) टी2- 15
(Vi) 3 एक्स2- एक्स - 4
सोल। (i) हमारे पास,एक्स2- 2 एक्स - 8 = एक्स2+ 2 x - 4 x - 8
= x ( x + 2 ) - 4 ( x + 2 )
= ( x + 2 ) ( x - 4 )
का मूल्य एक्स2- 2 एक्स - 8शून्य है जब (x + 2) (x - 4) का मान शून्य है, अर्थात,
जब x + 2 = 0 या x - 4 = 0, अर्थात, जब x = - 2 या x = 4.
तो, शून्य काएक्स2- 2 एक्स - 8हैं - 2 और 4.
इसलिए, शून्य का योग = (- 2) + 4 = 2
= - सीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्ससीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्स2
और शून्य का उत्पाद = (- 2) (4) = - 8 = - 81
= सीओ एन एस टैनटीटी ई आर एमसीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्स2
(ii) हमारे पास है, 4 एस2- 4 s + 1 = 4 एस2- 2 एस - 2 एस + 1
= 2 एस ( 2 एस - 1 ) - 1 ( 2 एस - 1 )
= ( 2 एस - 1 ) ( 2 एस - 1 )
का मूल्य 4 एस2- 4 s + 1शून्य है जब
(2s - 1) (2s - 1) का मान शून्य है, अर्थात, जब 2s - 1 = 0 या 2s - 1 = 0,
अर्थात, जबs = 12ओ आरs = 12।
तो, के शून्य4 एस2- 4 s + 1a r e12एक एन डी12
इसलिए, शून्य का योग = 12+ 12= 1
= - सीओ ई एफचi c i e n tओ चरोंसीओ ई एफचi c i e n tओ चरों2
और शून्य का उत्पाद = ( १)2) ( 1 )2) =14
= सीओ एन एस टी एक एन टीटी ई आर एमसीओ ई एफचi c i e n tओ चरों2
(iii) हमारे पास है, 6 एक्स2- 3 - 7 एक्स = 6 एक्स2- 7 x - 3
= 6 एक्स2- 9 x + 2 x - 3
= 3 x ( 2 x - 3 ) + 1 ( 2 x - 3 )
= ( 3 x + 1 ) ( 2 x - 3 )
का मूल्य 6 एक्स2- 3 - 7 एक्सशून्य है जब (3x + 1) (2x - 3) का मान शून्य है, अर्थात, जब 3x + 1 = 0 या 2x - 3 = 0, अर्थात, जबx = - 13ओ आर एक्स = 32
तो, के शून्य 6 एक्स2- 3 - 7 एक्सa r e- 13एक एन डी32
इसलिए, शून्य का योग = - १3+ ३2= 76
= - सीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्ससीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्स2
और शून्य का उत्पाद = - ( १)3) ( 3 )2) =- 12
= सीओ एन एस टी एक एन टीटी ई आर एमसीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्स2
(iv) हमारे पास है, 4 यू2+ 8 यू = 4u (u + 2)
का मान4 यू2+ 8 यूशून्य है जब 4u (u + 2) का मूल्य शून्य है, अर्थात, जब u = 0 या u + 2 = 0, अर्थात, जब u = 0 या u = - 2.
तो, का शून्य4 यू2+ 8 यूऔर 0 और - 2
इसलिए, शून्य का योग = 0 + (- 2) = - 2
= सीओ ई एफचi c e n tओ चयूसीओ ई एफचi c i e n tओ चयू2
और, शून्य का उत्पाद = (0) (-2) = 0
= सीओ एन एस टैनटीटी ई आर एमसीओ ई एफचi c i e n tओ चयू2
(v) हमारे पास है टी2- 15 = ( टी - 15--√) ( टी + १५--√)
का मूल्य टी2- 15 मूल्य के शून्य होने पर ( टी - १५--√) ( टी + १५--√)शून्य है,
अर्थात, जब टी - 15--√= 0ओ आरटी + 15--√ = 0 अर्थात, जब t = 15--√ओ आरt = - 15--√
तो, के शून्य टी2- 15a r e15--√एक एन डी- 15--√
इसलिए, शून्य का योग = 15--√+ ( - 15--√) =0
= - सीओ ई एफचi c i e n tओ चटीसीओ ई एफचi c i e n tओ चटी2
और, शून्य का उत्पाद = ( १५)--√) ( - 15--√) =-15
= सीओ एन एस टैनटीटी ई आर एमसीओ ई एफचi c i e n tओ चटी2
(vi) हमारे पास है, 3 एक्स2- एक्स - 4 = 3 एक्स2+ 3 x - 4 x - 4
= 3 x ( x + 1 ) - 4 ( x + 1 )
= ( x + 1 ) ( 3 x - 4 )
का मूल्य 3 एक्स2- एक्स - 4 शून्य है जब (x + 1) (3x - 4) का मान शून्य है, अर्थात, जब x + 1 = 0 या 3x - 4 = 0, अर्थात, जब x = - 1 या x = 43।
तो, के शून्य3 एक्स2- एक्स - 4a r e- 1एक एन डी43
इसलिए, शून्य का योग = - १ + ४3= - 3 + 43
= 13= सीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्ससीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्स2
और, शून्य का उत्पाद = ( - 1 ) ( 4 )3) =-43
= सीओ एन एस टी एक एन टीटी ई आर एमसीओ ई एफचi c i e n tओ चएक्स2
Q.2 क्रमशः दिए गए संख्याओं और उसके शून्य के गुणनफल के रूप में प्रत्येक के साथ एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए ।
(मैं)14; - 1
(Ii) 2-√, १3
(Iii) 0 , 5-√
(iv) 1, 1
(v)- 14, १4
(vi) 4, 1
सोल। (i) बहुपद होने देंa x2+ b x + c, और इसके शून्य हो αएक एन डीβ। फिर ,
α+β= 14= - बीए
तथा, αβ= - 1 = - 44= सीए
यदि a = 4, तो b = - 1 और c = - 4.
इसलिए, एक द्विघात बहुपद है जो दी गई शर्तों को मानता है4 एक्स2- एक्स - 4।
(ii) बहुपद होने दें a x2+ b x + c, और इसके शून्य हो αएक एन डीβ। फिर,
α+β= २-√= ३ २√3= - बीए
तथा αβ= 13= सीए
यदि a = 3 है, तो b = ३ २-√एक एन डीग = १
तो, एक द्विघात बहुपद है जो दी गई शर्तों को पूरा करता है 3 एक्स2- ३ २-√x + 1।
(iii) बहुपद होने दें a x2+ b x + c, और इसके शून्य हो αएक एन डीβ। फिर,
α + β= ० = ०1= - बीए
तथा α β= 5-√= 5√1= सीए
यदि a = 1 है, तो b = 0 और c = 5-√
तो, एक द्विघात बहुपद है जो दी गई शर्तों के अनुसार है एक्स2- 0. x + 5-√,मैं । ई । ,एक्स2+ ५-√।
(iv) बहुपद होने दीजिए a x2+ b x + c और उसके शून्य हो αएक एन डीβ। फिर,
α+β= 1
= - ( - १ )1= - बीए
एक एन डी α β= 1 = 11= सीए
यदि a = 1 है, तो b = - 1 और c = 1.
तो, एक द्विघात बहुपद है जो दिए गए शर्तों को पूरा करता है:एक्स2- x + 1।
(v) बहुपद होने दें a x2+ b x + c और उसके शून्य हो αएक एन डीβ। फिर
α + β= - १4= - बीए
तथा α β= 14= सीए
यदि a = 4 तो b = - 1 और c = 1.
तो, एक द्विघात बहुपद है जो दी गई शर्तों को मानता है4 एक्स2- x + 1।
(vi) बहुपद को होने दें a x2+ b x + c और उसके शून्य हो αएक एन डीβ। फिर,
α+β= 4 = - बीए
αβ= 1 = 11= सीए
यदि a = 1 है, तो b = - 4 और c = 1
इसलिए, एक द्विघात बहुपद है जो दी गई शर्तों को मानता है:एक्स2- 4 x + 1।
(i) deg p (x) = deg q (x)
(ii) deg q (x) = deg r (x)
(iii) deg r (x) = 0
Sol। (I), (ii) और (iii) में से प्रत्येक के लिए कई उदाहरण हो सकते हैं।
हालाँकि, प्रत्येक मामले के लिए एक उदाहरण निम्नानुसार लिया जा सकता है:
(i)p ( x ) = 2 x2- 2 x + 14 , जी( x ) = 2,
क्ष( x ) = एक्स2- x + 7 , आर ( एक्स ) = 0
(Ii) p ( x ) = x3+ x2+ x + 1 , जी( x ) = एक्स2- 1,
क्ष( x ) = x + 1,r ( x ) = 2 x + 2
(Iii) p ( x ) = x3+ 2 एक्स2- x + 2,
जी( x ) = एक्स2- 1 , क्यू( x ) = x + 2 ,आर ( एक्स ) = 4
Q.2 अनुपातों की तुलना करने पर और पता करें कि रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित जोड़े एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, समानांतर या संयोग। ए1ए2, बी1ख2सी1सी2
(i) 5x - 4y + 8 = 0; 7x + 6y - 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x - 3y + 10 = 0; 2x - y + 9 = 0
सोल। (i) रेखीय समीकरणों की दी गई जोड़ी
5x - 4y + 8 = 0 है
और, 7x + 6y - 9 = 0
यहाँ, 57≠ - 46
(1) और (2) अन्तर्विभाजक रेखाएँ हैं। ⇒
(ii) रैखिक समीकरणों की दी गई जोड़ी
9x + 3y +12 = 0 है
और, 18x + 6y + 24 = 0
यहाँ, [चूंकि, प्रत्येक = ] 918= ३6= 122412
इसलिए, (1) और (2) संयोग रेखाएँ हैं।
(iii) दिए गए रेखीय समीकरणों की जोड़ी
6x - 3y + 10 = 0
और, 2x - y + 9 = 0
यहाँ है, 62= - ३- 1≠ १०9
इसलिए, (1) और (2) समानांतर रेखाएँ हैं
प्रश्न 3: पर अनुपात की तुलना और , यह पता लगाने के लिए कि क्या रेखीय समीकरण निम्नलिखित जोड़े निरंतर रहती है या असंगत हैं। ए1ए2, बी1ख2सी1सी2
(i) 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7
(ii) 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9
(iii) 9x - 10y = 14 32x + ५3y= 7 ;
(iv) 5x - 3y = 11; - 10x + 6y = - 22
(v) 2x + 3y = 12. 43x + 2 y= 8 ;
सोल। (i) 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7
3x + 2y - 5 = 0
,,,,,और 2x - 3y - 7 = 0 के बाद से, इसलिए, रेखीय समीकरण की जोड़ी अनुरूप है। ए1= ३ख1= २सी1= - ५ए2= २ख2= - ३सी2= - 7
ए1ए2= ३2, बी1ख2= २- 3
32≠ २3, ए1ए2≠ बी1ख2
(ii) 2x - ३y = 3; 4x - 6y = 9; 2x - 3y - 8 = 0 और 4x - 6y - 3 = 0 , , , , , के बाद से, इसलिए, रेखीय समीकरण की जोड़ी असंगत है।
ए1= २ख1= - ३सी1= - 8ए2= 4ख2= - ६सी2= - ९
ए1ए2= २4= 12, बी1ख2= - ३- 6= 12, सी1सी2= - 8- ९= 89
12= 12≠ 89, मैं । ई । , ए1ए2= बी1ख2≠ सी1सी2
(iii) 9x - 10y = 14 32x + ५3y= 7 ; चूंकि, इसलिए, रैखिक समीकरणों की जोड़ी सुसंगत है।
ए1= ३2, बी1= 53, सी1= - 7 ; ए2= 9 , बी1= - 10 , सी2= - 14
ए1ए2= ३29= 16, बी1ख2= 53- 10= - १6
16≠ - 16, ए1ए2≠ बी1ख2
(iv) 5x - 3y = 11; - 10x + 6y = - 22 चूंकि, इसलिए, रैखिक समीकरण की जोड़ी सुसंगत है।
ए1= 5 , बी1= - 3 , सी1= - 11 ; ए2= - 10 , बी2= 6 , सी2= 22
ए1ए2= 510= - १2, बी1ख2= - ३6= - १2, सी1सी2= - ११22= - १2
- 12= - १2= - १2, मैं । ई । , ए1ए2= बी1ख2= सी1सी2
(v) 43x + 2 y= 8 ; 2 x + 3 y= 12 चूंकि, इसलिए, रैखिक समीकरण की जोड़ी सुसंगत है।
ए1= 43, बी1= 2 , सी1= - 8 ; ए2= 2 , बी2= 3 , सी2= - १२
ए1ए2= 432= २3, बी1ख2= २3, सी1सी2= - 8- 12= २3
23= २3= २3, मैं । ई । , ए1ए2= बी1ख2= सी1सी2
(ii) हम जानते हैं कि समीकरणों की प्रणाली का कोई हल नहीं है यदि हां, तो समीकरणों की दी गई प्रणाली का कोई समाधान नहीं होगा यदि अभी, 3k - 3 = 2k - 1 k = 2 स्पष्ट रूप से, k = 2 के लिए, हमारे पास इसलिए है, समीकरणों की दी गई प्रणाली का कोई समाधान नहीं होगा यदि k = 2।
ए1x + बी1y= सी1एक एन डीए2x + बी2y= सी2
ए1ए2= बी1ख2≠ सी1सी2
32 k - 1= 1के - १≠ १2 k + 1
⇒ 32 k - 1= 1के - १एक एन डी1के - १≠ १2 k + 1
32 k - 1= 1के - १
⇒
⇒
1के - १≠ १2 k + 1
Q.1 निम्नलिखित द्विघात समीकरणों की जड़ों का पता लगाएं, यदि वे वर्ग को पूरा करने की विधि से मौजूद हैं:
(i) (ii) (iii) (iv) सोल। (i) समीकरण अब के समान है , इसलिए, इसलिए, दिए गए समीकरण की जड़ें 3 और हैं । 2 एक्स2- 7 एक्स + 3 = 0
2 एक्स2+ x - 4 = 0
4 एक्स2+ ४ ३-√x + 3 = 0
2 एक्स2+ x + ४ = ०
2 एक्स2- 7 x + 3= 0एक्स2- 72x + 32= 0
एक्स2-72x +32
= ( x -74)2- (7)4)2+३2
= ( x - 74)2- 4916+ ३2
= ( x - 74)2- 2516
2 एक्स2- 7 एक्स + 3 = 0
⇒ ( x - 74)2- 2516= 0
⇒ ( x - 74)2= 2516
⇒ x - 74= ±54
⇒ x = 74±54
⇒ x = 74+54= 124= ३
⇒ x = 74-54= २4= 12
12
(ii) हम है, 2 एक्स2+ x - 4 = 0
इसलिए, दिए गए समीकरण के मूल हैं और (iii) हम है, इसलिए, दिए गए समीकरण के मूल हैं और । ⇒ एक्स2+ x2- २ = ०
⇒ ( x + 1)4)2- ( १)4)2- २ = ०
⇒ ( x + 1)4)2- 116- २ = ०
⇒ ( x + 1)4)2- 3316= 0
⇒ ( x + 1)4)2= 3316
⇒ x + 14= ± 33√4
⇒ x = - 14± 33√4
⇒ x = - 1 + 33√4
⇒ x = - 1 - 33√4
- 1 - 33√4- 1 + 33√4
4 एक्स2+ ४ ३-√x + 3 = 0
⇒ ( 2 x )2+ 2 × ( 2 x ) × 3-√+ ( ३)-√)2- ( ३)-√)2+ ३ = ०
⇒ ( २ x + ३-√)2- ३ + ३ = ०
⇒ ( २ x + ३-√)2= 0
⇒ x = - 3√2
⇒ x = - 3√2
- 3√2- 3√2
(iv) हमारे पास है, 2 एक्स2+ x + ४ = ०
लेकिन एक्स के किसी भी वास्तविक मूल्य के लिए नकारात्मक नहीं हो सकता है। तो, एक्स के दिए गए समीकरण को संतुष्ट करने का कोई वास्तविक मूल्य नहीं है। इसलिए, दिए गए समीकरण की कोई वास्तविक जड़ नहीं है। ⇒ एक्स2+ 12x + 2 = 0
⇒ ( x + 1)4)2- 116+ 2 = 0
⇒ ( x + 1)4)2+ 3116= 0
⇒ ( x + 1)4)2= - ३१16< ०
( x + 1)4)2
Q.2 द्विघात सूत्र को लागू करके Q.1 में दिए गए द्विघात समीकरणों की जड़ें ज्ञात कीजिए।
सोल। (i) दिया गया समीकरण 2 एक्स2- 7 एक्स + 3 = 0
यहां a = 2, b = - 7 और c = 3.
इसलिए, =डी = बी2- 4 a c = ( - 7 )2- 4 × 2 × 3 , इसलिए दिए गए समीकरण में वास्तविक जड़ें हैं ४ ९ - २४ = २५ > ०
एक्स = - ख ± डी√2 ए
= - ( - 7 ) ± 25√2 × 2
= 7 ± 54
= 124ओ आर24= ३ओ आर12
(ii) दिया गया समीकरण 2 एक्स2+ x - 4 = 0
यहाँ है, a = २, b = १ और c = - ४
इसलिए,डी = बी2- 4 a c = ( 1 )2- 4 × 2 × - 4 = 1 + 32 = 33> 0
तो, दिए गए समीकरण में वास्तविक जड़ें हैं
एक्स = - ख ± डी√2 ए= - 1 ± 33√2 × 2 = - 1 ± 33√4
(iii) दिए गए समीकरण 4 एक्स2+ ४ ३-√x + 3 = 0
यहाँ a = ४ है, b = ४ ३-√एक एन डीग = ३
इसलिए, डी = बी2- 4 a c = ( 4 3)-√)2- 4 × 4 × 3 = 48 - 48 = 0
दिए गए समीकरण में दी गई वास्तविक समान जड़ें हैं
(iv) दिए गए समीकरण यहाँ है, a = २, b = १ और c = ४ इसलिए, इसलिए, दिए गए समीकरण की कोई वास्तविक जड़ नहीं है। मैं द्विघात सूत्र विधि का उपयोग करना पसंद करता हूं क्योंकि यह एक सीधे आगे की विधि है। एक्स = - ख ± डी√2 ए= - बी2 ए = - ४ ३√2 × 4= - ३√2
2 एक्स2+ x + ४ = ०
डी = बी2- 4 a c = ( 1 )2- ४ × २ × ४ = १ - ३२ = - ३१ < ०
Q.3 निम्नलिखित समीकरणों की जड़ों का पता लगाएं:
(i) x - 1एक्स= 3 , एक्स ≠ 0
(ii) 1x + 4- 1x - 7= 1130, एक्स ≠ - 4 , 7
सोल। (i) दिया गया समीकरण x - 1एक्स= 3 , एक्स ≠ 0
यहां है, a = 1, b = - 3 और c = - 1 इसलिए, तो, दिए गए समीकरण में वास्तविक जड़ें हैं ⇒ एक्स2- 3 एक्स - 1 = 0
डी = बी2- 4 a c = ( - 3 )2- ४ ( १ ) ( - १ ) = ९ + ४ = १३ > ०
एक्स = - ख ± डी√2 ए= - ( - 3 ) ± 13√२ × १ = 3 ± 13√2
(ii) दिए गए समीकरण 1x + 4- 1x - 7= 1130, एक्स ≠ - 4 , 7
इस प्रकार x = 1 और x = 2 दिए गए समीकरण की जड़ें हैं। ⇒ ( x - 7 ) - ( x + 4 )( x + 4 ) ( x - 7 )= 1130
⇒ x - 7 - x - 4( x + 4 ) ( x - 7 )= 1130
⇒ - 11( x + 4 ) ( x - 7 )= 1130
⇒ - 1एक्स2- 7 x + 4 x - 28= 130
⇒ - 1एक्स2- ३ x - २ 28= 130
⇒ - 30 = एक्स2- ३ x - २ 28
⇒ एक्स2- 3 x + 2 = 0
⇒ एक्स2- 2 x - x + 2 = 0
⇒ ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0
⇒ x ( x - 2 ) - 1 ( x - 2 ) = 0
⇒ x = 1ओ आर2
प्र। 4 रहमान की उम्र के पारस्परिक का योग, (वर्षों में) 3 वर्ष पहले और अब से 5 वर्ष है । 13उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
सोल। बता दें कि रहमान की वर्तमान आयु x - वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार, हमारे पास
इसलिए, [चूंकि, उम्र कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकती] इस प्रकार, रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है। 1x - 3+ 1x + ५= 13
⇒ 3 ( x + 5 ) + 3 ( x - 3 ) = ( x - 3 ) ( x + 5 )
⇒ 3 x + 15 + 3 x - 9 = x2+ 2 एक्स - 15
⇒ एक्स2- 4 x - 21 = 0
⇒ एक्स2- 7 x + 3 x - 21 = 0
⇒ ( x - 7 ) ( x + 3 ) = 0
⇒ x ( x - 7 ) + 3 ( x - 7 ) = 0
⇒ ( x + 3 ) ( x - 7 ) = 0
⇒ x = 7ओ आर- 3
x = 7
Q.5 एक कक्षा परीक्षा में, गणित और अंग्रेजी में शेफाली के अंकों का योग 30 है। क्या उसे गणित में 2 अंक अधिक मिलते थे और अंग्रेजी में 3 अंक कम आते थे, उनके अंकों का उत्पाद 210 होता। दो विषय। सोल। बता दें कि गणित में शेफाली के अंक x हैं। फिर अंग्रेजी में उसके अंक होंगे (30 - x)। समस्या के अनुसार: इसलिए, गणित और अंग्रेजी में शैफाली के अंक क्रमशः 12 और 18 हैं और गणित और अंग्रेजी में क्रमशः 13 और 17 हैं।
( x + 2 ) × [ ( 30 - x) ) - 3 ]=210
⇒ ( x + 2 ) ( 27 ) - x )=210
⇒ 27 x - x2+ 09 - २ x = २१०
⇒ एक्स2- 25 x + 156 = 0
⇒ एक्स2- 12 x - 13 x + 156 = 0
⇒ x ( x - 12 ) - 13 ( x - 12 ) = 0
⇒ ( x - 12 ) ( x - 13 ) = 0
⇒ x = 12ओ आरx = 13
दो वर्गों के क्षेत्रों का Q.11 योग है । यदि उनकी परिधि का अंतर 24 मीटर है, तो दो वर्गों के किनारों को ढूंढें। 468म2 सोल। वर्गों के किनारों को x और y मीटर (x> y) होने दें। प्रश्न के अनुसार: ... (1) और ... (2) x (y) + 6 को (1) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं लेकिन y नकारात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, y = 12 इसलिए, x = y + 6 = 12 + 6 = 18 इसलिए, वर्गों के पक्ष 18 मीटर और 12 मीटर हैं।
एक्स2+ य2= 468
4 x - 4 y= 24
⇒ x - y= 6
( y+ 6 )2+य2= 468
⇒y2+ 12 y+ 36 +y2= 468
⇒ 2य2+ 12 y+ 36 - 468 = 0
⇒ 2 y2+ 12 y- 432 = 0
⇒ y2+ 6 य- 216 =0
⇒ y2+ 18 y- 12 y- 216 = 0
⇒ y( y+ 18 )-12 ( y)+ 18 )=0
⇒ ( y+ 18 ) ( y- १२ )=०
⇒ y= - 18ओआरy= 12
Q.9 दो पानी के नल एक साथ एक टैंक को घंटों में भर सकते हैं । बड़े व्यास के नल को टैंक को अलग से भरने के लिए छोटे की तुलना में 10 घंटे कम समय लगता है। उस समय का पता लगाएं जिसमें प्रत्येक नल अलग से टैंक को भर सकता है। ९ ३8
सोल। छोटे नल को टैंक को भरने में x घंटे लगते हैं। तो, टैंक को भरने के लिए बड़ा नल (x - 10) घंटे लगेंगे।
इसलिए, एक घंटे = 1x - 10
में बड़े नल द्वारा भरे गए टैंक का भाग, बड़े नल द्वारा भरे गए टैंक का भाग , इसी प्रकार, टैंक के हिस्से को छोटे नल द्वारा भरा जाता है क्योंकि यह दिया जाता है कि टैंक में भरा हुआ है , इसलिए , बेवजह है ⇒९ ३8एच ओ यू आर एस
758एच ओ यू आर एस = १x - 10× 75५8
758एच ओ यू आर एस = १एक्स× 75५8
758एच ओ यूआर एस
758 ( x - 10 )+ 758 एक्स= 1
⇒ 1x - 10+ 1एक्स= 875
⇒ एक्स + x - 10x ( x - 10 )= 875
⇒ 75 ( 2 x - 10 ) = 8 x ( x - 10 )
⇒ 150 x - 750 = 8 x2- 80 x
⇒ 8 एक्स2- 230 x + 750 = 0
⇒ 4 एक्स2- 115 x + 375 = 0
⇒ 4 एक्स2- 100 x - 15 x + 375 = 0
⇒ 4 x ( x - 25 ) - 15 ( x - 25 ) = 0
⇒ ( x - 25 ) ( 4 x - 15 ) = 0
⇒ x - २५ = ०ओ आर4 x - 15 = 0
⇒ x = 25ओ आर154
x = 25a sएक्स=154
इसलिए, बड़ा नल 15 घंटे में टैंक को भरता है और छोटे नल को टैंक को भरने में 25 घंटे लगते हैं।
रिक्त स्थान निम्नानुसार भरे जा सकते हैं:
(i) an=a+(n−1)d=7+(8−1)3
=7+7×3=7+21=28
(Ii) an=a+(n−1)d
⇒ 0=−18+(10−1)d
⇒ 18=9d
⇒ d=189=2
(Iii) an=a+(n−1)d
⇒ - 5 = a + ( 18 - 1 ) ( - 3 )
⇒ - 5 = a + 17 ( - 3 )
⇒ - 5 = ए - 51
⇒ a = - 5 + 51 = 46
(Iv) एn= a + ( n - 1 ) d
⇒ 3.6 = - 18.9 + ( एन - 1 ) 2.5
⇒ 3.6 + 18.9 = ( एन - 1 ) 2.5
⇒ 22.5 = ( एन - 1 ) 2.5
⇒ एन - 1 = 22.52.5
⇒ एन - 1 = 9
⇒ n = 9 + 1 = 10
(V) एn= a + ( n - 1 ) d= 3.5 + ( 105 - 1 ) × 0
= 3.5 + 0 = 3.5
Q.2 निम्नलिखित में सही विकल्प चुनें और
(i) 10, 7, 4, ..... का 30 वां कार्यकाल
(a) 97 (b) 77 (c) - 77 (d) - 87
(ii) का 11 वां कार्यकाल - 3 , - 12, २। । । ,मैं एस
(ए) २ b (बी) २२ (सी) - ३ b (डी) - ४। १2
सोल । (i) यहाँ, a = 10, d = 7 - 10 = - 3, n = 30
हम जानते हैं कि एn= a + ( n - 1 ) d
इसलिए, ए30= 10 + (30 - 1) (–3) = 10 + 29 (- 3)
= 10 - 87 = - 77
तो, (C) सही विकल्प है।
(ii) यहां, एक = 3,घ= - १2- ( - 3 )
=12+3=−1+62
=52,n=11
हम जानते हैं कि an=a+(n−1)d
इसलिए, a11=−3+(11−1)52
=−3+10×52=−3+25=22
तो, (बी) सही विकल्प है।
Q.4 AP की कौन सी शर्तें: 3, 8, 13, 18, .... 78 है? सोल। स्पष्ट रूप से दी गई सूची एक एपी है। हमारे पास, a = 3, d = 8 - 3 = 5 आज्ञा देना AP का nth शब्द तब होगा,
एn= 78
⇒ a + ( n - 1 ) d= 78
इसलिए, 3 + ( एन - 1 ) 5 = 78
⇒ ( n - 1 ) 5 = 78 - 3
⇒ 5 ( n - 1 ) = 75
⇒ एन - 1 = 15
⇒ n = 15 + 1
⇒ n = 16
इस प्रकार, 78 दी गई सूची का 16 वां शब्द है।
Q.7 एक AP का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11 वां पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है । सोल। आज्ञा देना पहला पद हो सकता है और घ सामान्य अंतर होना चाहिए। अभी,
एn= a + ( n - 1 ) d
इसलिए, ए1 1= ए + 10 डी= 38 ... (1)
औरए16= ए + 15 डी= 73 ... (2)
घटाना (1) हम (2) से
5 डी= 35
⇒ घ= 355= 7
और फिर (1) से,
+ 10 × 7 = 38
⇒a = 38 - 70 = - 32
इसलिए,ए31= ए + 30 डी= - 32 + 30 × 7
= - 32 + 210 = 178
Q.8 एक AP में 50 पद होते हैं जिनमें से तीसरा पद 12 होता है और अंतिम पद 106 होता है। 29 वां पद ज्ञात कीजिए। सोल। पहला पद हो और सामान्य अंतर को घ। अभी
एn= a + ( n - 1 ) d
ए3= ए + 2 डी= 12 ... (1)
ए50= ए + ४ ९घ= 106... (2)
घटाना (1) से (2), हमें मिलता है -
47 डी= 94
⇒ घ= 9447= २
और फिर (1)
a + 2 × 2 = 12 से
⇒a = 12 - 4 = 8
इसलिए,ए29= a + 28 d = 8 + 28 × 2
= 8 + 56 = 64
Q.9। यदि AP का 3 और 9 वां पद क्रमशः 4 और 8 है, तो इस AP का कौन सा शब्द शून्य है? सोल। पहला पद हो और सामान्य अंतर को घ।
ए3 = a + 2d = 4 ... (1)
ए9= a + 8d = - 8 ... (2)
घटाना (1) से (2), हमें
6d = 12 मिलता है⇒ घ= - १२6= - २
और फिर (1)
a + 2 × (- 2) = 4 से
⇒a = 4 + 4 = 8
आज्ञा देनाएn= 0
⇒ a + (n - 1) d = 0
⇒ 8 + (एन - 1) (- 2) = 0
⇒ (n - 1) (- 2) = - 8
⇒ एन - 1 = - 8- २= 4
⇒n = 4 + 1 = 5
इस प्रकार, 5 वां शब्द शून्य है।
Q.10 एपी का 17 वां शब्द अपने 10 वें कार्यकाल को 7 से अधिक करता है। सामान्य अंतर खोजें। सोल। पहला पद हो और सामान्य अंतर को घ। यह दिया जाता है
ए17- ए10= 7
⇒ (a + 16d) - (a + 9d) = 7 [ एसमैं एन सी ई , एn= a + ( n - 1 ) d]
⇒ 7d = 7
⇒d = 1
इस प्रकार, सामान्य अंतर 1 है
Q.11 AP का कौन सा पद: 3, 15, 27, 39, ..... अपने 54 वें कार्यकाल की तुलना में 132 अधिक होगा? सोल । यहां, एक = 3, डी = 15 - 3 = 12. फिर।
ए54= a + 53d = 3 + 53 × 12 = 3 + 636 = 639
Letएnअपने 54 वें कार्यकाल की तुलना में 132 अधिक है
,एn= ए54 + 132 = 639 + 132 = 771[ एसमैं एन सी ई , एn= a + ( n - 1 ) d]
⇒ a + (n - 1) d = 771
⇒ 3 + (एन - 1) 12 = 771
⇒ 12 (n - 1) = 771 - 3
⇒ 12 (एन -1) = 768
⇒ एन - 1 = 76812= 64
⇒n = 64 + 1 = 65
इस प्रकार, 65 वां शब्द अपने 54 वें कार्यकाल की तुलना में 132 अधिक है।
Q.1 AP का कौन सा पद: 121, 117, 113 ....., इसका पहला नकारात्मक शब्द है? सोल। 121, 117, 113, .... a = 121, d = 117 - 121 = - 4
एn= a + ( n - 1 ) d
= 121 + (n - 1) × - 4
= 121 - 4n + 4 = 125 - 4n
प्रथम ऋणात्मक पद के लिए
एn<0⇒125- ४ एन < ०
⇒ 125 <4 एन
⇒ 1254< n
⇒ ३१ १4< n
n एक पूर्णांक है और n > 31 14
⇒ पहला नकारात्मक शब्द 32 वां शब्द है।
Q.2 AP के तीसरे और सातवें पद का योग 6 है और उनका उत्पाद है। 8. AP के पहले सोलह शब्दों का योग ज्ञात कीजिए। सोल। एपी को a - 4 d, a - 3 d, a - 2 d, a - d, a, a, d, a + 2 d, a + 3 d, .... फिर, होने दें
ए3= ए - २ डी,ए7= ए - २ डी
⇒ ए3+ए7= ए - २ डी+ ए - 2 डी= 6
⇒ 2 ए = 6
⇒a = 3 ... (1)
भी (a - 2d) (a + 2d) = 8
⇒ ए2- 4 डी2= 8
⇒ 4 डी2= ए2- 8
⇒ 4 डी2= ( 3 )2- 8 = 9 - 8 = 1
⇒ घ2= 14
⇒ घ2= ± 12
ले रहा घ= 12
एस16= 162[ 2 × ( ए - ४ डी) + ( 16 - 1 ) × डी]
= 8 [ 2 × ( 3 - 4 × 1)2) +15×12]
= 8 [ 2 + 152] =8×192= 76
ले रहा घ= - १2
एस16= 162[ 2 × ( ए - ४ डी) + ( 16 - 1 ) × डी]
= 8 [ 2 × ( 3 - 4 × 1)2) +15×-12]
= 8 [ 2 × 5 - 152]
= 8 [ 20 - 152]
= 8 × 52= 20
इसलिए, एस16= 20 , 76
Q.4 एक पंक्ति के घरों को 1 से 49 तक लगातार गिना जाता है। दर्शाएं कि x का एक मान है जैसे कि घरों की संख्या से पहले के घरों की संख्या का योग, घरों की संख्या के योग के बराबर है। इसके बाद। X का यह मान ज्ञात कीजिए।
Here a = 1, and d = 1
Therefore, Sn−1=x−12[2×1+(x−1−1)×1]e
=x−12(2+x−2)=(x−1)(x)2
=x2−x2
Sn=x2[2×1+(x−1)×1]=x2(x+1)
x2+x2
and, S49=492[2×1+(49−1)×1]
=492[2+48]=492×50
=49×25
According to the question,
Sn−1=S49−Sx
i.e., x2−x2=49×25−x2+x2
⇒ x2−x2+x2+x2=49×25
⇒ x2−x+x2+x2=49×25
⇒ x2=49×25
⇒ x=±7×5
Since x is a counting number , so taking positive square root, x = 7 × 5 = 35.
Q.1 In figure, (i) and (ii), DE || BC. Find EC in (i) and AD in (ii).
2Sol.
(i) In fig. (i),
since DE || BC,
ADDB=AEEC⇒153=1EC
⇒ EC=315=3×1015= 2 cm.
(ii) In fig. (ii),
since DE || BC,
ADDB=AEEC⇒AD7.2=1.85.4
⇒ AD=1854×7210= 2.4 cm.
Q.2 E and F are points on the sides PQ and PB respectively of a Δ PQR. For each of the following cases, state whether EF || QR :
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 4 cm, PF = 3.6 cm and FR = 2.4 cm.
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm and RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm and PF = 0.36 cm
Sol.
(i) We have,
PE = 3.9 cm, EQ = 4 cm,
PF = 3.6 cm and FR = 2.4 cm
Now, PEEQ=3.94=0.97 cm
and, PFFR=3.62.4+32=1.2 cm
⇒ PEEQ=PFFR
3 ⇒ EF does not divide the sides PQ and PR of ΔPQR in the same ratio.
Therefore, EF is not parallel to QR.
(ii) We have, PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm and RF = 9 cm
Now, PEEQ=44.5=4045=89
and, PFFR=89
⇒ PEEQ=PFEQ
Thus, EF divides sides PQ and PR of ΔPQR in the same ratio.
Therefore, by the converse of BasicProportionality Theorem we have EF || QR.
(iii) We have, PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm
PF = 0.18 cm and, PF = 0.36 cm
Therefore EQ = PQ – PE = (1.28 – 0.18) cm.
= 1.10 cm
and, ER = PR – PF = (2.56 – 0.36)
= 2.20 cm
Now, PEEQ=0.181.10=18110=955
and, PFFR=0.362.20=36220=955
⇒ PEEQ=PFFR
Thus, EF divides sides PQ and PR of ΔPQR in the same ratio.
Therefore, by the converse of Basic Proportionality Theorem, we have EF || QR
Q.3 In figure, if LM || CB and LN || CD, prove that AMAB=ANAD.
4Sol.
In ΔABC , we have
LM || CB [Given]
Therefore by Proportionality Theorem, we have
AMAB=ALAC
In ΔACD, we have
LN || CD [Given]
Therefore By Basic Proportionality Theorem, we have
ALAC=ANAD .............. (2)
From (1) and (2), we obtain that
AMAB=ANAD
Q.4 In figure, DE || AC and DF || AE. Prove that BFFE=BEEC
5Sol.
In ΔBCA, we have
DE || AC [Given]
Therefore By Basic Proportionality Theorem, we have
BEEC=BDDA ............ (1)
In Δ BEA, we have
DF || AE [Given]
Therefore by Basic Proportionality Theorem, we have
BFFE=BDDA ............. (2)
From (1) and (2), we obtain that
BFFE=BEEC
Q.5 In figure, DE || OQ and DF || OR. Show that EF || QR. 6Sol.
In ΔPQO, we have
DE || OQ [Given]
Therefore By Basic Proportionality Theorem, we have
PEEQ=PDDO ............ (1)
In ΔPOR, we have
DF || OR [Given]
Therefore By Basic Proportionality Theorem, we have
PDDO=PFFR .............. (2)
From (1) and (2), we obtain that
PEEQ=PFFR
⇒EF||QR
Q.1 त्रिकोणों के साइज़ नीचे दिए गए हैं। निर्धारित करें कि उनमें से कौन सही त्रिकोण हैं। एक सही त्रिकोण के मामले में, इसकी कर्ण की लंबाई लिखें।
(i) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी
(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी
(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी
सोल।
(i) a = 7 सेमी, b = 24 सेमी और c = 25 सेमी। यहाँ बड़ा पक्ष c = 25 सेमी है, हमारे पास है,
ए2+ बी2= 72+ 242= 49 + 576 = 625 = सी2
तो, दिए गए पक्षों वाला त्रिकोण एक सही त्रिकोण है। इसका कर्ण = 25 सेमी।
(ii) ए = ३ सेमी, बी = c सेमी और सी = ६ सेमी।
यहां बड़ा पक्ष बी = We सेमी है।
हमारे पास है,ए2+ सी2= ३2+ 62= 9 + 36 = 45 ≠ ख2
तो, दिए गए पक्षों वाला त्रिकोण एक सही त्रिकोण नहीं है।
(iii) a = ५० सेमी, b = c० सेमी और c = १०० सेमी
यहाँ बड़ा पक्ष है c = १०० सेमी
हमारे पास है,ए2+ बी2= ५०2+ 802= 2500 + 6400 = 8900 रु ≠ सी2
तो, दिए गए पक्षों वाला त्रिकोण एक सही त्रिकोण नहीं है।
(iv) ए = १३ सेमी, बी = १२ सेमी और सी = ५ सेमी
यहां बड़ा पक्ष एक = १३ सेमी है।
हमारे पास है,ख2+ सी2= 122+ ५2= 144 + 25 = 169 = ए2
तो, दिए गए पक्षों वाला त्रिकोण एक सही त्रिकोण है। इसका कर्ण = 13 सेमी।
Q.7 Prove that the sum of the squares of the sides of a rhombus is equal to the sum of the squares of its diagonals.
Sol.
Let the diagonals AC and BD of rhombus ABCD interesect each other at O. Since the diagonals of a rhombus bisect each other at right angles.
45Therefore ∠AOB=∠BOC=∠COD = ∠DOA=90∘
and, AO = CO, BO = OD
Since, AOB is a right triangle, right angled at O.
Therefore AB2=OA2+OB2
⇒ AB2=(12AC)2+(12BD)2 [Because OA = OC and OB = OD]
⇒ 4AB2=AC2+BD2 ................ (1)
Siumilarly, we have
4BC2=AC2+BD2 ............... (2)
4CD2=AC2+BD2 ............... (3)
and 4AD2=AC2+BD2 ................(4)
Adding all these results, we get
4(AB2+BC2+CD2+AD)2=4(AC2+BD2)
⇒ AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2
Q.1 Find the distance between the following pairs of points :
(i) (2, 3), (4, 1) (ii) (–5, 7), (–1, 3) (iii) (a, b),(–a,–b)
Sol. (i) Let P(2, 3) and Q (4, 1) be the given points.
Here, x1=2,y1=3 and x2=4,y2=1
Therefore, PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
⇒PQ=(4−2)2+(1−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√ =(2)2+(−2)2−−−−−−−−−−√
⇒PQ=4+4−−−−√=8–√=22–√
(ii) Let P(– 5, 7) and Q(–1, 3) be the given points.
Here x1=−5,y1=7 and x2=−1,y2=3
Therefore, PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
⇒PQ=(−1+5)2+(3−7)2−−−−−−−−−−−−−−−−√ =(4)2+(−4)2−−−−−−−−−−√
⇒PQ=16+16−−−−−−√=32−−√=16×2−−−−−√=42–√
(iii) Let P(a, b) and Q(–a, –b) be the given points.
Here, x1=a,y1=b and x2=−a,y2=−b
Therefore, PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
⇒PQ=(−a−a)2+(−b−b)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ =(−2a)2+(−2b)2−−−−−−−−−−−−−√
⇒PQ=4a2+4b2−−−−−−−−√=2a2+b2−−−−−−√
Q.2 Find the distance between the points (0, 0) and (36, 15). Can you now find the distance between the two towns A and B discussed in Section 7.2?
Sol. Let P(0, 0) and Q(36, 15) be the given points.
Here x1=0,y1=0 and x2=36,y2=15
Therefore, PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
⇒PQ=(36−0)2+(15−0)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ =1296+225−−−−−−−−−√=1521−−−−√=39
In fact, the positions of towns A and B are given by (0, 0) and (36, 15) respectively and so the distance between them = 39 km as calculated above.
Q.3 Determine if the points (1, 5), (2, 3) and (–2, –11) are collinear.
Sol. Let A (1, 5), B(2, 3) and C(–2, –11) be the given points. Then, we have
AB=(2−1)2+(3−5)2−−−−−−−−−−−−−−−√=12+(−2)2−−−−−−−−−√ =1+4−−−−√=5–√
BC=(−2−2)2+(−11−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
=(−4)2+(−14)2−−−−−−−−−−−−√ =16+196−−−−−−−√
=212−−−√=4×53−−−−−√=253−−√
and, AC=(−2−1)2+(−11−5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
=(−3)2+(−16)2−−−−−−−−−−−−√
=9+256−−−−−−√=265−−−√
Clearly, BC≠AB+AC,AB≠BC+AC and AC≠BC
Hence, A,B and C are not collinear.
Q.4 Check whether (5, –2), (6, 4) and (7, – 2) are the vertices of an isosceles triangle.
Sol. Let A(5, –2), B(6, 4) and C(7, –2) are the given point. Then,
AB=(6−5)2+(4+2)2−−−−−−−−−−−−−−−√
=1+36−−−−−√=37−−√
BC=(7−6)2+(−2−4)2−−−−−−−−−−−−−−−−√
=1+36−−−−−√=37−−√
Clearly, AB = BC
Therefore, ΔABC is an isosceles triangle.
Q.1 Find the area of the triangle whose vertices are :
(i) (2, 3), (–1, 0), (2, – 4) (ii) (– 5,–1), (3, – 5), (5, 2)
Sol. (i) LetA=(x1,y1)=(2,3),B=(x2,y2)=(−1,0)
and C=(x3,y3)=(2,−4)
Area of ΔABC
=12[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=12[2(0+4)+(−1)(−4−3)+2(3−0)]
=12(8+7+6)=212sq.units
(ii) Let A=(x1,y1)=(−5,−1),B=(x2,y2)=(3,−5)
and C=(x3,y3)=(5,2)
Area of ΔABC
=12[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=12[−5(−5−2)+3(2+1)+5(−1+5)]
=12(35+9+20)=12×64
= 32 sq. units
Q.2 In each of the following find the value of 'k' for which the points are collinear :
(i) (7, –2), (5, 1), (3, k) (ii) (8, 1), (k, – 4), (2, – 5)
Sol. (i) Let the given points be A=(x1,y1)=(7,−2),B=(x2,y2)=(5,1) and C=(x3,y3)=(3,k).
These points lie on a line if
Area (ΔABC)=0
⇒x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)=0
⇒7(1−k)+5(k+2)+3(−2−1)=0
⇒7−7k+5k+10−9=0
⇒8−2k=0
⇒ 2k = 8
⇒ k = 4
Hence, the given points are collinear for k = 4
(ii) Let the given points be A=(x1,y1)=(8,1),B=(x2,y2)=(k,−4)andC=(x3,y3)=(2,−5).
If the given points are collinear, then
⇒x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)=0
⇒8(−4+5)+k(−5−1)+2(1+4)=0
⇒8−6k+10=0
⇒ – 6k = – 18
⇒ k = 3
Hence, the given points are collinear for k = 3.
Q.3 If sinA=34, calculate cos A and tan A.
Sol. Consider a ΔABC in which ∠B=90∘.
For ∠A, we have
Base = AB, Perp = BC and Hyp = AC
100
Therefore, sinA=PH,=BCAC=34
Let BC = 3k and AC = 4k.
Then, AB=AC2−BC2−−−−−−−−−−√=(4k)2−(3k)2−−−−−−−−−−−√
=16k2−9k2−−−−−−−−−√=7k2−−−√=7k−−√
Therefore, cosA=BH=ABAC=7k√4k=7√4
tanA=PB=BCAB=3k7k√=37√
Q.4 Given 15 cot A = 8, find sin A and sec A.
Sol. Consider a ΔABC in which ∠B=90∘.
For ∠A, we have
Base = AB, Perp = BC
and Hyp = AC
104
[Since, 15 cot A = 8 ⇒cotA=815 ]
Let AB = 8k and BC = 15k.
Then, AC=AB2+BC2−−−−−−−−−−√=(8k)2+(15k)2−−−−−−−−−−−−√
=64k2+225k2−−−−−−−−−−−√=289k2−−−−−√=17k
Therefore, sinA=PH=BCAC=15k17k=1517
and, secA=HB=ACAB=17k8k=178
Q.5 Given secθ=1312, calculate all other trigonometric ratios.
Sol. Consider a ΔABC in which ∠A=θ∘ and ∠B=90∘
Then, Base = AB, Perp = BC and Hyp = AC
Therefore, secθ=HB=ACAB=1312
Let AC = 13k and AB = 12k. Then,
BC=AC2−AB2−−−−−−−−−−√=(13k)2−(12k)2−−−−−−−−−−−−√
=169k2−144k2−−−−−−−−−−−√=25k2−−−−√=5k
Therefore, sinθ=PH=BCAC
3
=5k13k=513
cosθ=BH=ABAC=12k13k=1213
tanθ=PB=BCAB=512
cotθ=1tanθ=125
cosecθ=1sinθ=135
Q.6 If ∠A and ∠B are acute angles such that cos A = cos B, then show that ∠A=∠B.
Sol. In rt ΔABC, cosA=ACAB=[BH]
444
and, cosB=BCAB
But, cos A = cos B [Given]
⇒ACAB=BCAB
⇒AC=BC
Since, in ΔABC, AC = BC
⇒∠A=∠B [Angles opposite to equal sides are equal]
Q.7 If cotθ=78, evaluate :
(i) (1+sinθ)(1−sinθ)(1+cosθ)(1−cosθ)
(ii) cot2θ
Sol. Consider a ΔABC in which ∠A=θ∘ and ∠B=90∘. Then, Base = AB, Perp = BC and Hyp = AC
5
Therefore, cotθ=BP=ABBC=78
Let AB = 7k and BC = 8k.
Then, AC=BC2+AB2−−−−−−−−−−√=(8k)2+(7k)2−−−−−−−−−−−√
=64k2+49k2−−−−−−−−−−√=113k2−−−−−√=113k−−−−√
Therefore, sinθ=PH=BCAC=8k113k√=8113√
and cosθ=BH=ABAC=7k113k√=7113√
(i) Therefore, (1+sinθ)(1−sinθ)(1+cosθ)(1−cosθ)=1−sin2θ1−cos2θ=1−641131−49113
=113−64113−49=4964
(ii) cot2θ=(78)2=4964
Q.8 If 3 cot A = 4, check whether 1−tan2A1+tan2A=cos2 A−sin2A or not.
Sol. Consider a ΔABC in which ∠B=90∘.
For ∠A, we have
Base = AB, Perp = BC and Hyp = AC
6
Therefore, cotA=BP=ABBC=43
Let AB = 4k and BC = 3k [3cot A = 4 ⇒cotA=43]
Then, AC=AB2+BC2−−−−−−−−−−√=(4k)2+(3k)2−−−−−−−−−−−√
=16k2+9k2−−−−−−−−−√=25k2−−−−√=5k
Therefore, sinA=PH=BCAC=3k5k=35
cosA=BH=ABAC=4k5k=45
and, tanA=1cotA=34
L.H.S. =1−tan2A1+tan2A=1−9161+916=16−916+9=725
R.H.S. = cos2A−sin2A
=(45)2−(35)2=1625−925=725
⇒ L.H.S = R.H.S.
Therefore, 1−tan2A1+tan2A=cos2A−sin2A
Q.9 In ΔABC right angled at B, if tan A = 13√, find the value of
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
Sol. Consider a ΔABC , in which ∠B=90∘.
For ∠A, we have
Base = AB, Perp = BC
and Hyp = AC
tanA=PerpHyp
= BCAB=13√
7
Let BC = k and AB = 3–√ k .
Then, AC=AB2+BC2−−−−−−−−−−√=3k2+k2−−−−−−−√
= 4k2−−−√=2k
Therefore, sinA=PerpHyp=BCAC=k2k=12
cosA=BaseHyp=ABAC=3k√2k=3√2
For ∠C, we have
Base = BC, Perp = AB and Hyp = AC
Therefore, sinC=PerpHyp=ABAC=3k√2k=3√2
and, cosC=BaseHyp=BCAC=k2k=12
(i) sinA cosC + cosA sinC = 12×12+3√2×3√2
=14+34=44=1
(ii) cos A cosC – sin A sin C = 3√2×12−12×3√2=0
Q.10 In ΔPQR, right angled at Q, PR + QR 25 cm and PQ = 5 cm. Determine the values of sin P cos P and tan P.
Sol. In ΔPQR, right ∠d at Q,
PR + QR = 25 cm and PQ = 5cm
Let QR = x cm
105 Therefore, PR = (25 – x) cm
By Pythagoras theorem, we have
RP2=RQ2+QP2
⇒ (25−x)2=x2+52
⇒625−50x+x2=x2+25
⇒−50x=−600
⇒x=−600−50=12
Therefore, RQ = 12cm
⇒ RP = (25 – 12)cm = 13cm
Now, sinP=RQRP=1213
cosP=PQRP=513
and tanP=RQPQ=125
Q.1 Evaluate :
(i) sin18∘cos72∘
(ii) tan26∘cot64∘
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
Sol. (i) sin18∘cos72∘=sin(90∘−72)cos72∘=cos72∘cos72∘=1[Since,sin90−θ=cosθ]
(ii) tan26∘cot64∘=tan(90∘−64∘)cot64∘=cot64∘cot64∘=1 [Since,tan(90−θ)=cotθ]
(iii) cos48° – sin42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42° = 0 [Since,cos(90−θ)=sinθ]
(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec (90° – 59°) – sec 59° = 0
=sec59∘−sec59∘=0 [Since,cosec(60−θ)=secθ]
Q.2 Show that
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52 ° = 0
Sol. (i) tan 48° tan 23° tan 42 ° tan 67°
= tan (90° – 42°) tan(90° – 67°) tan 42° tan 67°
= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67° [Since,tan(90−θ)=cotθ]
=1tan42∘.1tan67∘.tan42∘tan67∘=1
(ii) cos 38°cos 52°– sin 38°sin 52°
= cos(90° – 52°)cos(90°– 38°) – sin 38°sin 52°
= sin 52° sin 38° – sin 38°sin 52° = 0 [Since,cos(90∘−θ)=sinθ]
Q.3 If tan 2A = cot (A – 18°), where 2A is an acute angle, find the value of A.
Sol. We are given that
tan 2A = cot (A – 18°)...(1)
Since tan 2A = cot (90° – 2A), so we can write (1) as
cot(90°–2A) = cot (90° – 2A), so we can write (1) as
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°) [Since,cot(90∘−θ)=tanθ]
Since (90° – 2A) and (A – 18°) are both acute angle therefore,
90° – 2A = A – 18°
⇒ – 2A – A = – 18° – 90°
⇒ – 3A = – 108°
⇒ A = 36°
Q.4 If tan A = cot B, prove that A + B = 90°.
Sol. We are given that
tan A = cot B...(1)
Since tan A = cot(90° – A), so we can write (1) as
cot (90° – A ) = cot B [Since,cot(90∘−θ)=tanθ]
Since (90° – A) and B are both acute angles, therefore,
(90° – A) = B
⇒ A + B = 90°
Q.5 If sec 4 A = cosec (A – 20°), where 4 A is an acute angle, find the value of A.
Sol. We are given that sec 4A = cosec (A – 20°). ....(1)
Since sec 4A = cosec (90°– 4A), so we can write (1) as
cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°) [Since,cosec(90∘−θ)=secθ]
Since (90° – 4A) and (A – 20°) are both acute angles, therefore,
90° – 4A = A – 20°
⇒ – 4A – A = – 20° – 90°
⇒ – 5A = 110°
⇒ A = 22°
Q.6 If A, B and C are interior angles of a ΔABC, then show that
sin(B+C2)=cosA2
Sol. Since A, B and C are the interior angles of a ΔABC, therefore,
A + B + C = 180°
⇒ A+B+C2=90∘
⇒ B+C2=90∘−A2
sin(B+C2)=90∘−A2
sin(B+C2)=cosA2 [Since,sin(90∘−θ)=cosθ]
Q.7 Express sin 67° + cos 75° in terms of trigonometric ratios of angles between 0° and 45°.
Sol. sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
Q.1 मूल्यांकन:
(i) पाप 60 ° cos 30 ° + sin 30 ° cos 60 °
(ii)2 तन245∘+ कॉस230∘- पाप260∘
(Iii) क्योंकि45∘सेकंड30∘+ कॉसई सी 30∘
(Iv) पाप30∘+ तन45∘- कॉसई सी 60∘सेकंड30∘+ कॉस60∘+ खाट45∘
(V) 5 कोस260∘+ 4 सेकंड230∘- तन245∘पाप230∘+ कॉस230∘
सोल। (i) पाप 60 ° cos 30 ° + sin 30 ° cos 60 °
= ३√2× ३√2+ 12× १2
= ३4+ 14= 3 + 14= 44= 1
(Ii) 2 तन245∘+ कॉस230∘- पाप260∘
= 2 ( 1 )2+ ( ३)√2)2- ( ३)√2)2
= 2 + 34- 34= २
(Iii) क्योंकि45∘पाप30∘+ कॉसई सी 30∘
= 12√23√+ 2= 12√२ + २ ३√3√= 12√× ३√२ + २ ३√
= 3√2√× २ ( ३)√+ 1 )× ३√- 13√- 1
= 3√( ३)√- ( 1 )2√× 2 ( 3 - 1 )= २√× ३√( ३)√- ( 1 )2√× २√× २ × २
= ३ २√- 6√8
(Iv) पाप30∘+ तन45∘- कॉसई सी 60∘पाप30∘+ कॉस45∘+ खाट45∘
12+ 1 - 23√23√+ 12= 1 + 22- २3√23√+ 1 + 22
= ३2- २3√23√+ ३2= ३ ३√- 4२ ३√४ + ३ ३√२ ३√
= ३ ३√- 4४ + ३ ३√= ( ३ ३)√- 4 ) ( 3 3 )√- 4 )( ४ + ३ ३√) ( 3 3 )√- 4 )
27 + 16 - 12 3√- १२ ३√27 - 16
४३ - २४ ३√1 1
(V) 5 कोस260∘+ 4 सेकंड230∘- तन245∘पाप230∘+ कॉस230∘
सोल। ५ ( १)2)2+ 4 ( 2)3√)2- ( 1 )2( 1)2)2+ ( ३)√2)2
५ × १4+ 4 × 43- 114+ ३4= 54+ 163- 1 = 112( १५ + ६४ - १२ )1 + 34
112× ६44= 6712
Q.2 सही विकल्प चुनें और सही ठहराएँ:
(i)2 तन30∘1 + तन230∘=
(ए) पाप 60 ° (बी) कॉस ६० °
(सी) तन ६० ° (डी) पाप ३० °
(Ii) 1 - तन245∘1 + तन245∘=
(ए) तन ९ ० ° (बी) १
(सी) पाप ४५ ° (डी) ०
(iii) पाप २ ए = २ पापा सत्य है जब A =
(A) ० ° (B) ३० °
(C) ४५ ° (D) ६० °
(Iv) 2 तन230∘1 - तन230∘=
(ए) कॉस 60 ° (बी) पाप 60 °
(सी) टैन ६० ° (डी) इनमें से कोई भी
सोल नहीं है। (i) (ए)
क्योंकि 2 तन30∘1 + तन230∘= 2 × 13√1 + ( 1)3√)2= २3√1 + 13
= २3√× ३3 + 1= २3√× ३4
= ३√2= पाप60∘
(ii) (D)
क्योंकि1 - तन245∘1 + तन245∘= 1 - 11 + 1= 02= 0
(iii) (ए)
क्योंकि जब ए = ०, पाप २ ए = पाप ० = ०
और, २ पाप = २ पाप ० = २ × ० = ०
⇒ पाप 2 ए = 2 एसिनए, जब ए = 0
(iv) (C)
क्योंकि2 तन30∘1 - तन230∘= 2 × 13√1 - ( 1)3√)2= २3√1 - 13
= २3√× ३3 - 1= २3√× ३2
= ३-√= तन60∘
Q.3 अगर टैन (A + B) = 3-√ और टैन (ए - बी) = 13√; 0∘< ए + बी ≤ 90∘; ए > बी , ए और बी
सोल को ढूंढें । तन (ए + बी) =3-√
⇒ तन( ए + बी )=तन60∘
⇒ A + B = 60∘ ... (1)
तन( ए - बी ) = १3√
⇒ तन( ए) - बी ) = तन30∘
⇒A - B = 30 ° ... (2)
सॉल्विंग (1) और (2), हम
A = 45 ° और B = 15 ° प्राप्त करते हैं
, इसलिए A = 45 ° और B = 15 °
Q.3 मूल्यांकन:
(i) पाप263∘+ पाप227∘क्योंकि217∘+ कॉस273∘
(ii) पाप 25 ° cos 65 ° + cos25 ° sin65 ° [ एसi n c e , s i n ( 90∘- θ )=क्योंकिθ ]
सोल। (i) यहाँ, sin63 ° = sin (90 ° - 27 °) = cos27 °
और cos17 ° = cos (90 ° - 73 °) = sin 73 °[ एसi n c e , cos( 90)∘- θ )=पापθ ]
इसलिए, पाप263∘+ पाप227∘क्योंकि217∘+ कॉस273∘= कॉस227∘+ पाप227∘पाप273∘+ कॉस273∘
= 11= 1
[ एसi n c e , cos2अ + पाप2A = 1 ]
(ii) sin25 ° cos65 ° + cos25 ° sin65 °
= sin (९ ० ° - ६५ °)। cos65 ° + cos (90 ° - 65 °) sin65 °
= cos65 ° cos65 ° + sin 65 ° sin65 °
[ एसमैं एन सी ई , पाप( 90)∘- θ )=क्योंकिθ ]
= क्योंकि265∘+ पाप265∘= 1 [ एसi n c e , cos( 90)∘- θ )=पापθ ]
Q.4 सही विकल्प चुनें। अपनी पसंद को औचित्य दें : (i)
9 सेकंड2ए - 9 तन2ए =
(ए) 1 (बी) 9
(सी) 8 (डी) 0
(ii) (1+ तनθ + सेकθ) (1 + कॉस θ - cosec θ) =
(ए) 0 (बी) 1
(सी) 2 (डी) इनमें से कोई नहीं
(iii) (secA + tanA) (1 - sinA) =
(A) secA (B
) sinA (C) cosecA (D) cosA
(Iv) 1 + तन2ए1 + खाट2ए=
(ए) सेकंड2ए (बी) -1 (सी)
खाट2ए (डी) इनमें से कोई भी
सोल। (i) (B), क्योंकि
9 सेकंड2ए - 9 तन2ए = 9 ( सेकंड2ए - तन2ए )
= 9 × 1 = 9 [ एसi n c e , 1 + तन2ए = सेक2A ]
(ii) (C), क्योंकि
( 1 + तनθ + सेकθ )( 1 + खाटθ - कॉसई सी θ )
= ( १ + पापθक्योंकिθ+ 1क्योंकिθ) ( 1 + कॉसθपापθ- 1पापθ)
= ( cos)θ + पापθ + १क्योंकिθ) ( पापθ + कॉसθ - 1पापθ)
= ( कॉसθ + पापθ )2- 1पापθ कॉसθ [ एसi n c e , ( A + B ) ( A - B ) = A2- बी2]
= ( कॉस2θ + पाप2θ ) -2कॉसθ पापθ - 1पापθ कॉसθ [ एसमैं एन सी ई , पाप2θ + कॉस2θ = 1 ]
= 1 + 2 कोसθ पापθ - 1पापθ कॉसθ= 2 कॉसθ पापθपापθ कॉसθ= २
(iii) (D), क्योंकि
(secA + tanA) (1 - sinA)
=( 1)क्योंकिए+ पापएक्योंकिए) ( 1 - पापए )
= ( १ + पापएक्योंकिए) ( 1 - पापए ) [ एसi n c e , ( A + B ) ( A - B ) = A2- बी2]
= 1 - पाप2एक्योंकिएक्योंकि2एक्योंकिए= कॉसए [ एसमैं एन सी ई , पाप2A + कॉस2A = 1 ]
(iv) (D), क्योंकि
1 + तन2ए1 - खाट2ए= 1 + तन2ए1 + 1तन2ए= 1 + तन2एतन2ए + १तन2ए
= ( १ + तन2ए ) ×तन2ए1 + तन2ए= तन2ए
Q.5 निम्नलिखित पहचानें सिद्ध करें, जिसमें शामिल कोण तीव्र कोण हैं, जिसके लिए भाव परिभाषित किए गए हैं:
(i)( कॉसई सी θ - खाटθ )2= 1 - कॉसθ1 + कॉसθ
(Ii) क्योंकिए1 + पापए+ 1 + पापएक्योंकिए= 2 सेकंडए
(Iii) तनθ1 - खाटθ+ खाटθ1 - तनθ= 1 + सेकंडθ कॉसई सी θ
(Iv) 1 + सेकंडएसेकंडए= पाप2ए1 - cosए
(V) क्योंकिए - पापए + १क्योंकिअ + पापए - १= कॉसई ग ए + खाटए , पहचान का उपयोग करना क्योंकिई ग2ए = 1 + खाट2ए
(Vi) 1 + पापए1 - पापए=-------√सेकंडA + तनए
(Vii) पापθ - 2 पाप3θ2 कोस3θ - कॉसθ= तनθ
(ज) ( s i n A + c o s e c A )2+ ( c o s A + s e c A )2= 7 + तन2A + खाट2ए
(ix) (cosecA - sinA) (secA - cosA) = 1तनA + खाटए
(एक्स) ( 1 + तन2ए1 + खाट2ए) =( 1 - तनए1 - खाट2ए)2= तन2ए
सोल। (i) हमारे पास,
LHS = है( c o s e c θ-खाटθ)2
= ( १)पापθ- कॉसθपापθ)2= ( 1 - cosθपापθ)2
= ( 1 - cosθ )2पाप2θ= ( 1 - cosθ )21 - cos2θ [ एसमैं एन सी ई , पाप2θ = 1 - कॉस2θ ]
= ( 1 - cosθ )2( 1 - cosθ )( 1 + cos)θ )= 1 - कॉसθ1 + कॉसθ
आरएचएस [ एसमैं एन सी ई , ए2- बी2= ( ए + बी ) ( ए - बी ) ]
(ii) हमारे पास,
LHS = हैक्योंकिए1 + पापए+ 1 + पापएक्योंकिए
= क्योंकि2अ + ( १ + पापए )2क्योंकिए ( १ + पापए )
= क्योंकि2अ + १ + २ पापअ + पाप2एक्योंकिए ( १ + पापए )
= ( कॉस2अ + पाप2ए ) +1+2पापएक्योंकिए ( १ + पापए )
= १ + १ + २ पापएक्योंकिए ( १ + पापए )[ एसi n c ई पाप2A + कॉस2A = 1 ]
= २ + २ पापएक्योंकिए ( १ + पापए )= 2 ( 1 + पाप)ए )क्योंकिए ( १ + पापए )
= 2क्योंकिए= 2 सेकंडए = आर । एच। एस।
(iii) हमारे पास,
LHS = हैतनθ1 - खाटθ+ खाटθ1 - तनθ
= तनθ1 - 1तनθ+ 1तनθ1 - तनθ
= तनθतनθ - 1तनθ+ 1तनθ ( 1 - तनθ )
= तन2θतनθ - 1+ 1तनθ ( 1 - तनθ )
= तन2θतनθ - 1- 1तनθ ( तनθ - 1 )
= तन3θ - 1तनθ ( तनθ - 1 )
= ( तनθ - 1 ) ( तन2θ + तनθ + 1 )तन θ( तनθ - 1 )
[ एसमैं एन सी ई , ए3- बी3= ( ए - बी ) ( ए2+ ए बी + बी2) ]]
= तन2θ + तनθ + १तन2θ
= तन2θतनθ+ तनθतनθ+ 1तनθ
= तनc + 1 + खाटθ = 1 + तनot + खाटθ
= 1 + पापθक्योंकिθ+ कॉसθपापθ
= 1 + पाप2θ + कॉस2θक्योंकिθ
= 1 + 1पापθ कॉसθ= 1 + कॉसई सी θ सेकθ
= आरएचएस
(iv) आरएचएस =पाप2ए1 - cosए= 1 - कॉस2ए1 - cosए
[ एसमैं एन सी ई , पाप2A = 1 - cos2A ]
= ( 1 - cosए )( 1 + कॉसए )1 - cosए= 1 + कॉसए
[ एसमैं एन सी ई , ए2- बी2= ( ए + बी ) ( ए - बी ) ]
= 1 + 1सेकंडए= 1 + सेकंडएसेकंडए= एल । एच। एस।
(v) LHS =क्योंकिए - पापए + १क्योंकिअ + पापए - १= कॉसए - पापए + १पापएक्योंकिअ + पापए - १पापए
= क्योंकिA - 1 + cosई सी एक्योंकिA + 1 - cosई सी ए
[ एसi n c e , 1 + खाट2ए = कॉसई ग2A ]
= खाटA + कॉसई सी ए - ( कॉसई ग2ए - खाट2ए )खाटA - कॉसई सी ए + १
= खाटA + कॉसई सी ए - ( कॉसई ग ए + खाटए )( कॉसई सी ए - खाटए )खाटA - कॉसई सी ए + १
[ एसमैं एन सी ई ए2- बी2= ( ए + बी ) ( ए - बी ) ]
आम लेना (cosecA + cotA)
=( कॉसई ग ए + खाटए )( 1 - कॉसई सी ए + खाट )( खाटA - कॉसई सी ए + 1 )
= cosec A + cot A
= RHS
(vi) हमारे पास,
LHS = है1 + पापए1 - पापए-----√= 1 + पापए1 - पापए× १ + पापए1 + पापए-------------√
[गुणा और भाग करना] 1 + पापए-------√
= ( १ + पापए )21 - पाप2ए-------√= ( १ + पापए )2क्योंकि2ए-------√ [ एसमैं एन सी ई ,पाप2A + कॉस2A = 1 ]
= ( १ + पापएक्योंकिए)--------√2= 1 + पापएक्योंकिए
= 1क्योंकिए+ पापएक्योंकिए= सेकंडA + तनए
= आरएचएस [ एसमैं एन सी ई ,तनअ = पापएक्योंकिए]
(vii) हम,
एलएचएस =पापθ - 2 पाप3θ2 कोस3θ - कॉसθ= पापθ ( 1 - 2 पाप2θ )क्योंकिθ ( 2 क्योंकि2θ - 1 )
= तनθ [ 1 - 2 पाप2θ2 ( 1 - पाप2θ ) -1]
= तनθ [ 1 - 2 पाप2θ२ - २ पाप2θ - 1]
= तनθ [ 1 - 2 पाप2θ१ - २ पाप2θ] =तनθ × १
= तनθ= आरएचएस
(viii) हमारे पास,
एलएचएस = है( पापA + कॉसई सी ए )2+ ( क्योंकिA + सेकंडए )2
= ( पाप2A + कॉसई ग2A + 2 पापएक कॉसe c A ) + ( cos )2A + सेकंड2A + 2 कॉसएक सेकंडए )
= ( पाप2A + कॉसई ग2A + 2 पापए । 1पापए) + ( कॉस2A + सेकंड2A + 2 कॉसए । 1क्योंकिए)
= ( पाप2A + कॉसई ग2A + 2 ) + ( cos )2A + सेकंड2A + 2 )
= पाप2A + कॉस2A + कॉसई ग2A + सेकंड2ए + ४ [ एसमैं एन सी ई ,पाप2A + कॉस2A = 1 ]
= 1 + ( 1 + खाट2ए ) + ( 1 + टैन2ए ) +४
= 7 + तन2A + खाट2ए
= [ एसमैं एन सी ई ,क्योंकिई ग2ए = 1 + खाट2एएक एन डीसेकंड2ए = १+तन2A ]
= आरएचएस
(ix) हमारे पास,
LHS = (cosec A - sinA) (secA - cosA)
= है( 1)पापए- पापए ) ( 1 )क्योंकिए- कॉसए )
= ( १ - पाप2एपापए) ( 1 - कॉस2एक्योंकिए)
= क्योंकि2एपापए× पाप2एक्योंकिए
= पापा कोसा
=पापएक कॉसएपाप2A + कॉस2ए [ एसमैं एन सी ई , पाप2A + कॉस2A = 1 ]
पापा कोसा द्वारा विभाजित न्यूमेरिक और डेनोमिनेटर
पापएक कॉसएपापएक कॉसएपाप2एपापएक कॉसए+ कॉस2एपापएक कॉसए
= 1पापएक्योंकिए+ कॉसएपापए
= 1तनA + खाटए = आरएचएस
(x) हमारे पास,
LHS = है( 1 + तन2ए1 + खाट2ए) =सेकंड2एक्योंकिई ग2ए
= 1क्योंकि2ए× पाप2ए1= तन2ए
आरएचएस = ( १ - तनए1 - खाटए)2= ( १ - तनए1 - 1तनए)2
= ( १ - तनएतनए - १तनए)2= ( - तनए )2= तन2ए
इसलिए, एलएचएस = आरएचएस
Q.4 टॉवर के शीर्ष का एक कोण जमीन से एक बिंदु पर, जो टॉवर के पैर से 30 मीटर की दूरी पर है, 30 tower है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
सोल। मान लें कि AB ऊँचाई मीटर का टॉवर है और C को टॉवर के पैर से 30 मीटर की दूरी पर एक बिंदु होने दें। बिंदु C से टॉवर के शीर्ष के उत्थान का कोण 30 of है।
2
में , हमारे पास Δसीअ ब इसलिए, टावर की ऊंचाई है मीटर है।
अ बसीए= तन30ओ
⇒ ज30= 13√
⇒ ज = ३०3√= १० ३-√
१० ३-√
Q.5 एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊंचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी स्ट्रिंग को जमीन पर एक बिंदु पर अस्थायी रूप से बांधा जाता है। जमीन के साथ स्ट्रिंग का झुकाव 60 the है। स्ट्रिंग की लंबाई का पता लगाएं, यह मानते हुए कि स्ट्रिंग में कोई सुस्ती नहीं है।
सोल। OA को क्षैतिज जमीन होने दें, और K को जमीन से 60 मीटर की ऊंचाई पर पतंग की स्थिति में आने दें। स्ट्रिंग की लंबाई ठीक होने दें x मीटर। यह दिया जाता है∠ केओ ए = ६०ओ
में, हमारे पास हैΔए ओ के
A केओ के= पाप60ओ
⇒ 60एक्स= ३√2
⇒ x = 60 × 23√= 1203√= ४० ३-√
5
इसलिए, स्ट्रिंग की लंबाई है ४० ३-√m
Q.3 त्रिज्या 5 सेमी के वृत्त के बिंदु P पर एक स्पर्शरेखा PQ एक बिंदु Q पर केंद्र O के माध्यम से एक रेखा से मिलती है ताकि OQ = 12 सेमी हो। पीक्यू की लंबाई है:
(A) 12 cm (B) 13 cm (C) 8.5 cm (D) 119−−−√cm
Sol. (D). Because,
PQ=OQ2−OP2−−−−−−−−−−√=122−52−−−−−−−√=144−25−−−−−−−√
=119−−−√cm
Q.1 एक बिंदु Q से, वृत्त की स्पर्शरेखा की लंबाई 24 सेमी और केंद्र से Q की दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या
(ए) 7 सेमी (बी) 12 सेमी
(सी) 15 सेमी (डी) 24.5 सेमी
सोल है। चूंकि क्यू टी और सर्कल में एक स्पर्शरेखा है और ओटी त्रिज्या है,
इसलिए, ओ टी⊥ क्यू टी
यह दिया गया है कि ओक्यू = 25 सेमी और क्यूटी = 24 सेमी,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है
2
ओ क्यू2= क्यू टी2+ ओ टी2
⇒ हे टी2= ओ क्यू2- क्यू टी2
⇒ हे टी2= 252- 242
= (25 + 24) (25-24) इसलिए, वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, अर्थात (ए)।
= 49 × 1 = 49
⇒ हे टी= ४ ९--√= 7
Q.2 आकृति में, यदि TP और TQ केंद्र O के साथ एक वृत्त के दो स्पर्शरेखा हैं , तो, ∠ पीओ क्यू = 1100∠ पीटीक्यू
(A) (B) (C) (D) 600700800900
Sol के बराबर है । चूंकि टी.पी. और TQ केंद्र हे के साथ एक चक्र के लिए स्पर्शरेखाएँ हैं ताकि , इसलिए, और और चतुर्भुज TPOQ, हमने = , यानी, (बी)।
4
∠ पीओ क्यू = 1100
ओ पी⊥ पीटीओ क्यू ⊥ क्यू टी
⇒ ∠ हे पीटी= 900∠ हे क्यू टी= 900
∠ पीटीक्यू + ∠ टीपीओ + ∠ पीहे क्यू + ∠ हे क्यू टी= 3600
⇒ ∠ पीटीक्यू + ९ ०0+ 1100+ 900= 3600
⇒ ∠ पीटीक्यू + 2900= 3600
⇒ ∠ पीटीक्यू = 3600- 2900
700
यहां खरीदारी करें या अपनी कक्षा के पूर्ण एनिमेटेड वीडियो पाठ्यक्रम प्राप्त करने के लिए हमारे शैक्षणिक काउंसलर से कॉल बैक का अनुरोध करें।
Q.3 अगर केंद्र O के साथ एक बिंदु P से वृत्त तक स्पर्शरेखा PA और PB एक दूसरे के कोण पर झुके हुए हैं , तो 800∠ पीओ ए
(A) (B) (C) (D) 500600700800Sol के बराबर है । चूंकि पीए और पीबी केंद्र ओ के साथ एक सर्कल के स्पर्शरेखा हैं, इसलिए, और चतुर्भुज पीएओबी में, हमारे पास = सही ओएपी और ओबीपी में, हमारे पास ओपी = ओपी [कॉमन] ओए [ओबी] [ रेडी] प्रत्येक = 90 ° है। ] इसलिए, (एसएएस मानदंड द्वारा)
3
हे एक ⊥ एक पी,हे बी ⊥ बी पी
⇒ ∠ हे एक पी= 900एक एन डी∠ हे बी पी= 900
∠ एक बी पी+ ∠ पीए ओ +∠ ए ओ बी + ∠ ओ बी पी= 3600
⇒ 80 रु0+ 900+ ∠ एक हे बी + 900= 3600
⇒ 2600+ ∠ एक हे बी = 3600
⇒ A O B = 3600- 2600
1000
Δ s
∠ हे एक पी= ∠ हे बी पी
Δ हे एक पी≅Δ हे बी पी
⇒ ∠ पीओ ए = ∠ पीओ बी [CPCT]
इसलिए,∠ पीओ ए = १2∠ एक हे बी = 12× १००0
= ५०0, मैं । ई । , ( ए ) ।
Q.1 आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यदि PQ = 24 सेमी, PR = 7 सेमी और O वृत्त का केंद्र है।
Since ROQ is a diameter, therefore, ∠RPQ=90o
In rt ∠dΔPRQ RQ2=RP2+PQ2
⇒ RQ2=72+242=49+576=625
⇒ RQ=625−−−√=25cm
Therefore, Radius r=12RQ=252cm
Area of the semi circle =12πr2=12×227×252×252cm2
=687528cm2
and area of ΔRPQ=12×RP×PQ
=(12×7×24)cm2=84cm2
Area of the shaded region
= Area of the semi circle – Area (Δ RPQ)
=(687528−84)cm2=(6875−235228)cm2
=452328cm2
Q.3 Find the area of the shaded region in figure, if ABCD is a square of side 14 cm and APD and BPC are semicircles.
10
Sol. Area of the square ABCD = (14)2cm2=196cm2
Diameter of the semicircles = AD or BC = 14 cm
Therefore, Radius of each semicircle = 7 cm
Area of the semicircular regions =2×12πr2=πr2
=(227×49)cm2=154cm2
Therefore, Area of the shaded portion
= Area of the square ABCD – Area of the semicircular regions
= (196−154)cm2=42cm2
Q.4 Find the area of the shaded region in figure, where a circular arc of radius 6 cm has been drawn with vertex O of an equilateral triangle OAB of side 12 cm as centre.
12
Sol. Area of the circular portion
= Area of the circle – Area of the sector
=πr2−60360πr2=πr2(1−16)
=56πr2, where r = 6
=(56×227×36)cm2=6607cm2
Area of the equilateral ΔOAB
=3√4(side)2=(3√4×144)cm2
=363–√cm2
Therefore, Area of the shaded region
=(6607+363–√)cm2
Q.1 2 क्यूब्स में से प्रत्येक वॉल्यूम अंत से अंत तक जुड़ जाता है। परिणामी घनाभ के सतह क्षेत्र का पता लगाएं। 64सी। एम3
सोल।
घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई सेमी होने दें।
फिर, वॉल्यूम a = 4 = 64सी। एम3
⇒ ए3= 64
⇒
जब समान मात्रा के दो क्यूब्स (यानी, समान किनारों को सिरे से सिरे से जोड़ा जाता है, तो हमें एक क्यूब ऐसे मिलता है जैसे कि इसका।
l = लंबाई = 4cm + 4cm = 8 cm
b = चौड़ाई = 4 cm
और h = ऊँचाई = 4 सेमी
इसलिए घनाकार का सतह क्षेत्र
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8) सी। एम2
= 2 (32 + 16 + 32) सी। एम2
= (2 × 80) = 160सी। एम2सी। एम2
Q.5 IF P (F) = 0.05, 'Not E' की क्या संभावना है?
सोल। चूंकि P (E) + P (नहीं - E) = 1
P (नहीं - E) = 1 - P (E) = 1 - 0.05 = 0.95
Q.3 एक बैग में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें होती हैं। यदि नीली गेंद खींचने की संभावना लाल गेंद से दोगुनी है, तो बैग में नीले रंग की गेंदों की संख्या निर्धारित करें।
सोल। बैग में एक्स ब्लू बॉल्स होने दें।
इसलिए, बैग में गेंदों की कुल संख्या = 5 + x
अब, = एक नीली गेंद पी1
खींचने की संभावना = एक्स5 + एक्स
= लाल गेंद खींचने की संभावना = लेकिन यह दिया जाता है कि = इसलिए, बैग में 10 नीली गेंदें हैं। पी2
55 + एक्स
पी12 पी2
⇒ एक्स5 + एक्स= 2 × 55 + एक्स
⇒ x = 10
संभावना है कि यह हरा है । और जार में नीली गेंदों की संख्या। 23
सोल। जार में 24 पत्थर हैं, कुछ हरे हैं और अन्य नीले हैं।
इसलिए, प्राथमिक घटनाओं की कुल संख्या = 24
आज्ञा देना x हरे गिरता है
इसलिए, प्राथमिक संख्या के अनुकूल संख्या = x
इसलिए, P (G) = लेकिन, P (G) =
[दिया] एक्स2423
= x = 16 हरे रंग की संख्या = 16 नीली मार्बल्स की संख्या = 24 - 16 = 8
⇒ एक्स24= २3
⇒23× २४
